Untuk menyelesaikan integral [imath]\int_{-1}^{0} (2x + 1)^4 \, dx[/imath], kita akan mengikuti proses langkah demi langkah yang melibatkan menemukan antiturunan dan kemudian menerapkan batas integrasi.
Solusi Langkah Demi Langkah
Langkah 1: Temukan antiturunan dari fungsi
Untuk mengintegralkan fungsi [imath](2x + 1)^4[/imath], kita menggunakan aturan kekuatan integrasi. Namun, karena aturan rantai, kita juga harus memperhitungkan turunan dari fungsi dalam, [imath]2x + 1[/imath], yang adalah [imath]2[/imath]. Antiturunannya diberikan oleh:
[math]\int (2x + 1)^4 \, dx = \frac{(2x + 1)^5}{5 \cdot 2} + C[/math]
di mana [imath]C[/imath] adalah konstanta integrasi.
Langkah 2: Terapkan batas integrasi
Selanjutnya, kita menerapkan Teorema Fundamental Kalkulus, yang melibatkan substitusi batas atas dan batas bawah ke antiturunan kita dan menghitung perbedaannya:
[math]\left[ \frac{(2x + 1)^5}{10} \right]_{-1}^{0}[/math]
Langkah 3: Evaluasi antiturunan pada batas atas dan bawah
[math]\text{Pada } x = 0: \frac{(2(0) + 1)^5}{10} = \frac{1}{10}[/math]
[math]\text{Pada } x = -1: \frac{(2(-1) + 1)^5}{10} = \frac{(1 - 2)^5}{10} = \frac{(-1)^5}{10} = -\frac{1}{10}[/math]
Langkah 4: Hitung integral tertentu
Nilai integral adalah perbedaan antara dua evaluasi ini:
[math]\frac{1}{10} - (-\frac{1}{10}) = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}[/math]
Jadi, nilai dari integral [imath]\int_{-1}^{0} (2x + 1)^4 \, dx[/imath] adalah [imath]\frac{1}{5}[/imath].
